无理不等式与绝对值不等式●考试目标 主词填空1.含有绝对值的不等式①|f(x)|0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－ a < f ( x )< a .②|f(x)|>a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f ( x )> a 或 f ( x )< － a .③|f(x)|>|g(x)| f 2 ( x )> g 2 ( x ) .2.无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:① ②.3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5.三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,此不等式可推广如下：|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|当且仅当 a1,a2,a3,…an符号相同时取等号. ●题型示例 点津归纳【例 1】 解无理不等式.(1)>2;(2) >2x－4;(3) <2x+1.【解前点津】 (1)因 2>0,故原不等式可化为不等式组:.(2)因右边 2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.【规范解答】 (1)化原不等式为:.(2)化原不等式为:.(3)化原不等式为两个不等式组: .【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例 2】 解下列含有绝对值的不等式：(1)|x2－4|≤x+2;(2)|x+1|>|2x－1|;(3)|x－1|+|2x+1|<4.【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x+2)≤x2－4≤(x+2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当 x=1,－时,有 x－1=0 及 2x+1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.【规范解答】 (1)原不等式可化为:－(x+2)≤x2－4≤x+2.故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.(2)化原不等式为|x+1|2>|2x－1|2 (2x－1)2－(x+1)2<0.(2x－1+x+1)·(2x－1－x－1)<03x·(x－2)<00
