6．2.4 向量的数量积考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解 a 在 b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理 问题导学预习教材 P17－P22 的内容，思考以下问题：1．什么是向量的夹角？2．数量积的定义是什么？3．投影向量的定义是什么？4．向量数量积有哪些性质？5．向量数量积的运算有哪些运算律？1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角．(2)特例：①当 θ＝0 时，向量 a 与 b 同向；② 当 θ＝时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b；③ 当 θ＝π 时，向量 a 与 b 反向．■名师点拨 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA与AB的夹角．作AD＝CA，则∠BAD 才是向量CA与AB的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，把数量| a || b | cos __θ 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos __θ . 规定零向量与任一向量的数量积为 0．■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作 a·b，千万不能写成 a×b 的形式．3．投影向量如图(1)，设 a，b 是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下变换：过AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影(project)，A1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量．(2)若与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，则OM1＝|a|cos θ e.■名师点拨 当 θ＝0 时，OM1＝|a|e；当 θ＝时，OM1＝0；当 θ∈时，OM1与 b 方向相同；当 θ∈时，OM1与 b 方向相反；当 θ＝π 时，OM1＝－|a|e.4．向量数量积的性质设 a，b 是非零向量...
