5．圆的方程一、内容归纳1.知识精讲.① 圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中 r 为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-，-)，半径为，(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等(5)圆系方程： i) 过 圆 C ： x2+y2+Dx+Ey+F=0 和 直 线 l ： Ax+By+C=0 的 交 点 的 圆 的 方 程 为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0ii)过两圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆 C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6) 圆的参数方程 圆心在(0,0),半径为 r 的圆的参数方程为 为参数圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为 为参数② 圆的一般方程与二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的关系；二元二次方程表示圆的充要条件 A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。二、问题讨论例 1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆 x2+y2=4 相外切于点 P(-1，)，且半径为 4；(2)经过坐标原点和点 P(1，1)，并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上；(3)已知一圆过 P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4，求圆的方程。解：(1)设圆心 Q 的坐标为(a，b) ⊙O 与⊙Q 相外切于 P∴O、P、Q 共线，且 λ==-=- 由定比分点公式求得 a=-3，b=3∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16(2)显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：= 即 x+y-1=0解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心 C 的坐标为(4，-3)。又圆的半径 r=|OC|=5∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将 P、Q 点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20 ②D-3E-F=10 ③ 令 x=0，由①得 y2+Ey+F=0 ④由已知|y1-y2|=4，其中 y1、y2是方程④的两根。∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤②、③、⑤组成的方程组，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例 2、(优化设...
