例谈导数法求解中点弦问题导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。一、方法介绍1. 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作： 是 x 的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。如对圆，两边对 x 求导，则有，所以在切点（m，n）处的切线斜率－。从而求出切线方程是。类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。2. 利用求导法求解中点弦问题如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦 AB 中点 M 相切（如图 1）。此时缩小的曲线方程如，两边对 x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。图 1二、应用举例1. 求中点弦方程例 1. 已知双曲线方程，求以 A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点 B（1，1），能否作直线 ，使 与所给双曲线交于 P、Q 两点，且点B 是弦 PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。解：对两边求导，得用心 爱心 专心（1）以 A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以 B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即。但与双曲线方程联立消去 y 得，无实根。因此直线 与双曲线无交点，所以满足条件的直线 不存在。注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。2. 证明与中点弦有关的不等式例 2. 已知椭圆，A、B 是椭圆上两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，求证：。证明：设 AB 的中点是 P（m，n），则中点 P 在椭圆内，所以①对椭圆两边求导有，得故中点弦 AB 的斜率，所以线段 AB 的垂直平分线斜率满足，得。代入①式得。3. 求与中点弦有关的轨迹问题用心 爱心 专心例 3. 已知定点 A（0，2），椭圆，过 A 任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段 PQ 中点的轨迹方程。解：设线段 PQ 的中点为 M（x，y）。对椭圆两边求导，得所以的斜率为。又，所以。化简即得（在椭圆内的部分）。4. 求与中点弦有关的对称问题例 4. 求抛物线上不存在关于直线对称的两点，求 m 的取值范围。解：（1）当时，曲线上不...
