例谈空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下． 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．例 1 粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图 1），它的两底面边长分别是和，高是，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．解：如图 1 所示，是两底面中心，则是高，设是斜高，，在直角梯形中，，因为边数，两底边长，．答：制造这一下料斗约需铁板．评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为OFE图 1，其中是正棱台的斜高．2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．例 2 已知圆锥的底面半径为，高为，其中有一个高为的内接圆柱．求（1）圆柱的侧面积；（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．解：做圆锥的轴截面，如图 2 所示．设所求圆柱的底面半径为，则其侧面积为．因为，，．（2）的表达式中的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：，底面半径为：．．3、球的表面积和体积球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用．例 3 在球内有相距的两个平行截面，截面面积分别是，球心不在截面之间，求球的面积和体积．RHrx图 2分析：可以用球的截面的性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解决．解：画出轴截面，如图 3．圆是球的大圆，分别是两条平行于截面圆的直径，过作，．由于，所以．由圆的性质可得，分别是的中点．设两平行平面的半径分别为，由题意得：，．又都是球的半径，，，，，解得：．．4、体积变换问题体积变换包括体积割补或等积变换，体积割补的目的是为了应用公式计算体积，等积变换的目的是为了以体积为中间媒介，计算相关元素．例 4 在长方体中，截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部...
