空间直角坐标系——知能阐释一、知识精讲1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从轴的正方向看，轴正半轴沿逆时针方向转能与轴的正半轴重合。让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系。 平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意的实数；平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意的实数；平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意的实数。 2．构成轴、轴、轴的点的坐标特征 轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数； 轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数。 3．空间中点的对称在空间直角坐标系内，点的几种特殊的对称点坐标为：（1）关于原点的对称点是；（2）关于轴的对称点是；（3）关于轴的对称点是；1（4）关于轴的对称点是；（5）关于平面的对称点是；（6）关于平面的对称点是；（7）关于平面的对称点是。4．空间两点的距离公式空间中两点、的距离公式为。特别地，点与原点间的距离公式为。 二、范例剖析 例 1 求点关于各个坐标平面对称点的坐标。 解析：类比平面直角坐标系中点的对称问题，在考虑添加平面后的各种情况。 关于平面的对称点的坐标为； 关于平面的对称点的坐标为； 关于平面的对称点的坐标为。 评注：空间直角坐标系中，点相对于某个坐标平面的两个坐标的确定方法，与平面直角坐标系中确定某点的坐标的方法是相同的。 例 2 如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，，求点的坐标。2 解析：过作，垂足为。 在中，由，，得，， ∴，，∴点的坐标为。 评注：本题利用空间直角坐标系，将空间问题转化到坐标平面上解决，体现了由空间向平面转化的降维思想。 例 3 已知点，，在轴上求一点，使，并求点的坐标。 解析：∵点在轴上，∴设点的坐标为，由知，，∴，∴ 故点的坐标为。 评注：利用空间坐标内两点间的距离公式，可以求空间任意两个已知点间的距离，反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标。3
