椭圆及其性质【学习目标】① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．【考纲要求】椭圆方程为 B 级要求【自主学习】1．椭圆的定义(1) 平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是 ．② 当 2a＜|F1F2|时，P 点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中 a，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对,a > b >0 进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率： ( 与 的比)， ， 越接近 1，椭圆越 ； 越接近 0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的参数方程为 ．4．焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1＋r2＝2a(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中 P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)【基础自测】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 .2.若椭圆=1 的离心率为，则实数 m= .3 设椭圆+=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 . 4（2008·江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(a＞b＞0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a 为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= .[典型例析]例 1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.例 2. 已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.例 3 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，经过两点 A(1，)，B(－2，)．圆 F 的圆心是椭圆 E的右焦点 F，且圆 F 的半径恰等于椭圆的短半轴长．(Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程；(Ⅱ)若点 P 是圆 F 上的一个动点，求Comb i nComb i n 的取值范围．[当堂检测]1. 已 知 椭 圆 的 长 轴 长 是 8 ， 离 心...
