高中数学《椭圆的相相关性质》素材 1 新人教 B 版选修 1-1一、相关性质由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为 F1、F2对于截面上任意一点 P，过 P 做圆柱的母线 Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于 Q1、Q2则 PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以 PF1+PF2=Q1Q2由定义 1 知：截面是一个椭圆，且以 F1、F2 为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动 180 度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明） 二、椭圆的第二定义及其推导过程 定义：当点．M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．一般称之为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率． 其具体推导过程如下： 点与 定 点的 距 离 和 它 到 定 直 线的 距 离 的 比 是 常 数，求点 M 的轨迹． 解：设 d 是点 M 到直线 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合． 由此得． 将上式两边平方，并化简，得． 设，就可化成． 这是椭圆的标准方程，所以点 M 的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆． 三、第二定义的应用 例 椭圆上有一点，它到椭圆的左准线的距离等于 10，求点 P 到它的右用心 爱心 专心焦点的距离． 解：∵，∴． ∴． 依椭圆的第二定义，设点到椭圆左焦点的距离为 x，则．∴． ∴点到椭圆右焦点距离为． 评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使问题化繁为简．用心 爱心 专心
