高中数学：2.2 空间向量及其运算 学案（北师大版选修2-1）

空间向量及其运算●考试目标 主词填空1.空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p 存在惟一的有序实数组 x、y、z,使 p=x a + y b + z c . 2.向量的直角坐标运算：设 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).则 a+b= .a-b= . a·b=.若 a、b 为两非零向量，则 a⊥ba · b =0 =0.●题型示例 点津归纳【例1】已知空间四边形 OABC 中，∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC.M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是MN 的中点.求证：OG⊥BC.【解前点津】 要证 OG⊥BC，只须证明即可. 而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.【规范解答】 连 ON 由线段中点公式得：例 1 题图 又,所以)=().因为.且，∠AOB=∠AOC.所以=0,即 OG⊥BC.【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例 2】 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线 BA1与 AC 所成的角.【解前点津】 利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线 BA1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】 因为,所以=因为 AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例 2 图所以=0,=-a2.所以=-a2.又所以〈〉=120°.所以异面直线 BA1与 AC 所成的角为 60°．【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例 3】 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、DC 的中点.(1)求 AE 与 D1F 所成的角；(2)证明 AE⊥平面 A1D1F.【解前点津】 设已知正方体的棱长为 1，且=e1，=e2，=e3，以 e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系 D—xyz,则：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，，0)，D1(0，0，1)，所以 =(0,1,), =(0, ,-1).所以·=(0,1),·(0, ,-1)=0.所以⊥，即 AE 与 D1F 所成的角为 90°．(2)又=(1,0,0)=，且·=(1,0,0)·(0,1,)=0.所以 AE⊥D1A1，由(1)知 AE⊥D1F，且 D1A1∩D1F=D1.所以 AE⊥平面 A1D1F.例3图【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例 4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】 E,G 分别为 AB,AC 的...