高中数学：1.2.1《函数及其表示》学案（新人教A版必修1）

第 1 课时 函数及其表示一、映射1．映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的 元素，在集合 B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设 A、B 是 ，f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射，则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 解：C变式训练 1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=解：C例 2. 给 出 下 列 两 个 条 件 ： （ 1 ） f(+1)=x+2;(2)f(x)为 二 次 函 数 且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解：（1）令 t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).（2）设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),典型例题基础过关∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.∴，∴，又 f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.变式训练 2：（1）已知 f（）=lgx，求 f（x）；（2）已知 f（x）是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求 f（x）；（3）已知 f（x）满足 2f（x）+f（）=3x，求 f（x）.解：(1)令+1=t，则 x=，∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞).（2）设 f（x）=ax+b，则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故 f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， ①把①中的 x 换成，得 2f（）+f（x）= ②①×2-② 得 3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-.例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M，交折线ABCD 于 N，记 AM=x，试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域.解：作 BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足，依题意，则有 AH=，AG=a.（1）当 M 位于点 H 的左侧时，N∈AB，由于 AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）.（2）当 M 位于 HG 之间时，由于 AM=x，∴MN=，BN=x-.∴y=...