对课本一道习题的变式研究 题目（ 习题 第 7 题）过抛物线 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为 ，求证 . 证明：在本题中，直线 过焦点 ，具有上述性质，反之若直线与抛物线 的两个交点的纵坐标 具有 ，直线是否经过焦点 呢？ 变式 1，若抛物线 上两个动点 的纵坐标分别是 且满足 ，则直线 经过焦点 . 证明：设 的坐标分别为 、 . 若 ，则由 ， ，知 ，所以 ， ，此时直线 过焦点 . 若 ，由直线的斜率公式得： ， 又 代入得 因此 三点共线，直线 过焦点 . 即 是 过焦点 的充要条件。 变式 2 设 是抛物线 对称轴上的一个定点，过 的直线交抛物线于 两点，其纵坐标为 ，求证 是定值。 证明：因为 与抛物线交于两点，因此可设 的方程为 代入 中消去 得： ，由韦达定理知 （定值） 变式 3 设抛物线 上面动点 分别为 ， ，且满足 （ 为常数），问 是否恒过来某一定点？ 解：当 时， ， 的方程为 将 代入化简，整理得 的方程为 ， 即 过定点 . 当 时，结论成立，（实际上 时， 同号，点 在对称轴的同侧且 ，所以当 时，必有 ） 变式 4 设抛物线 的两动点 ， ，满足 （ 是常数），求 中点 的轨迹方程。 解：设 的坐标为 ，则 ， ，又 在抛物线上，所以有 ， ，则 ，将 ， 代入化简得点 的轨迹方程是 . 由以上可知，对课本题进行联想、引申和改造，可以得到综合性强，形式新颖的命题，多思考、多训练可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新的能力。
