数学模型与数学建模“ 田忌赛马” 的故事一、展示材料 战国时代，齐王与大将田忌赛马
规则如下：双方各出三匹马，一对一共比赛三场，每场的输者要给赢者铜一千斤
齐王的三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上、中、下三等
齐王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略强一些
每次比赛用同等级的马对抗 3 局，田忌就要输 3 局，输掉三千斤铜
后来，田忌手下的谋士、著名的军事家孙膑给田忌出了一个主意：让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛
这样虽然第一场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜一负，田忌赢了齐威王铜一千斤
二、材料初步分析 齐威王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次都先出马，才给了田忌可趁之机
公平的竞赛规则应该是这样的：每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛出马的决策应该是同时做出的
倘若这样比赛的话结果会是如何呢
我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题
三、问题探究问题一：若只进行一场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随机选择一匹进行比赛
那么齐威王获胜的机会怎样
当然，倘若齐威王一直只出上等马，那么田忌永远都没有机会
所以这里“随机”很重要
为了研究方便，我们必须先给出几个设定 ：设定 1 ：齐王和田忌选择哪一匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马；设定 2 ：上、中、下三种马分别用字母 a 、 b 、 c 表示；设定 3 ：齐王每场赢得 1 分，输得 0 分
根据两人出马的各种情形我们可以列出下表：（表中数据是齐威王的得分） 齐威王出的马abc田忌出的马a100b110c111 上述 3×3=9 种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是 1/9
故齐威王获胜的概率为 6/9=2/3
列出齐王的得分的分布列：01P1/32/3齐威王得分的数
