专题20数列综合问题的探究【自主热身,归纳提炼】1、数列{an}为等比数列,且a1＋1,a3＋4,a5＋7成等差数列,则公差d＝________.【答案】：3【解析】：设数列{an}的公比为q,则(a1＋1)＋(a1q4＋7)＝2(a1q2＋4),即a1＋a1q4＝2a1q2.因为a1≠0,所以q2＝1,a1＝a3＝a5,故公差d＝3.2、设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2＋a5＝4,则a8的值为________．【答案】：.2【解析】：当q＝1时,显然不符合题意．当q≠1时,设Sn＝,因为S3,S9,S6成等差数列,所以2q9－q6－q3＝0,即2q6－q3－1＝0,解得q3＝－或q3＝1(舍去)．又a2＋a5＝a2(1＋q3)＝＝4,故a2＝8,即a8＝a2q6＝2.3、已知数列为等差数列,其前12项和为354,在前12项中,偶数项之和与奇数项之和的比为,则这个数列的公差为__________．【答案】：5【解析】由题意偶数项和为192,奇数项和为162,又,所以这个数列的公差为5．4、已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于．【答案】：5、已知数列{an}是等差数列,且＜－1,它的前n项和Sn有最小值,则Sn取到最小正数时的n＝．【答案】：12【解析】由题意可知,又＜－1,所以从而,所以Sn取到最小正数时的n的值为12．6、设等比数列的前项和为,若成等差数列,且,其中,则的值为．【答案】：129【解析】：设等比数列的公比为,则由题意得,也就是,即,解之得或；由于,,所以不符合题意,舍；当时,,从而,所以．7、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8＝3,则a5的值为________．8、设是数列的前n项和,且,,则________．【答案】：【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以．9、设数列{an}是首项为1,公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则数列{an}的公差为________．【答案】：.2思路分析先用公差d分别表示S2,S4,列方程求出d.设公差为d,其中d≠0,则S1,S2,S4分别为1,2＋d,4＋6d.由S1,S2,S4成等比数列,得(2＋d)2＝4＋6d,即d2＝2d.因为d≠0,所以d＝2.10、设公差为d(d为奇数,且d>1)的等差数列的前n项和为Sn,若Sm－1＝－9,Sm＝0,其中m>3,且m∈N*,则an＝________.【答案】：3n－12【解析】：因为Sm－1＝－9,Sm＝0,所以am＝9.又Sm＝＝0,所以a1＋am＝0,即a1＝－9.又am＝－9＋(m－1)d＝9,即(m－1)d＝18,因为m－1为正整数,d为比1大的奇数,故d＝3,m＝7或d＝9,m＝3(舍),故an＝a1＋(n－1)d＝3n－12.11、若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)＝13,等差数列{bn}满足b7＝a7,则b1＋b2＋…＋b13的值为________．【答案】：26【解析】：因为等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)＝13,所以a1·a2·…·a13＝213,(a7)13＝213,a7＝2,所以等差数列{bn}中,b7＝a7＝2,b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝13×2＝26.解后反思记住一些常用的结论可以提高解题速度．在等比数列{an}中,若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,则aman＝apaq；在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N*,且m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq.12、已知等比数列{an}的首项为,公比为－,其前n项和为Sn,若对n∈N*恒成立,则B－A的最小值为．【答案】：．【解析】由题意可求得,令,则,从而,所以,所以B－A的最小值为．【问题探究,变式训练】例1、．已知实数成等比数列,成等差数列,则的最大值为．【答案】【解析】解法1（基本不等式）由题意知,所以由基本不等式的变形式,则有：,解得,所以的最大值为.解法2（判别式法）由题意知,则,代入得,即,上述关于的方程有解,所以,解得,所以的最大值为.【变式1】、在正项等比数列{an}中,若a4＋a3－2a2－2a1＝6,则a5＋a6的最小值为________．【答案】：48思路分析首先根据基本量思想,可用首项a1和公比q来表示a5＋a6,即建立a5＋a6的目标函数．但是它含有两个变量a1和q,可由a4＋a3－2a2－2a1＝6再建立一个关于a1和q的等式,然后消去一个变量,那么消谁呢？原则：一是易于消去谁,二是对谁了解得更为详细,就保留谁．由这两点可知,应消去a1,保留q,这就得到关于q的函数．接下来用函数或不等式即可求出最值．这里运用换元或整体思想结合基本不等式即可求出最值,但运用基本不等式求最值,一定要检验等号成立的条件．解法1由a4＋a3－2a2－2a1＝6,得a1(q＋1)(q2－2)＝6,所以a1(q＋1)＝.因...
