1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质（一）

1.3.2“1.3.2“ 杨辉三角”杨辉三角”与二项式系数的性与二项式系数的性质质 一般地，对于 n N* 有011222()nnnnnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abC b二项定理 :一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察 n 为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 1 ．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba 2)(ba 3)(ba 4)(ba 5)(ba 6)(ba ()nab …… …… ……0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121......rnnnnnnnnC C CCCC 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： nba)( nnnnnC,,C,C,C210 从函数角度看， 可看成是以 r 为自变量的函数 , 其定义域是： rnC)(rfn,,2,1,0 当 时，其图象是右图中的 7 个孤立点．6n 二项式系数的性质二项式系数的性质2 ．二项式系数的性质 （ 1 ）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr  二项式系数的性质二项式系数的性质（ 2 ）增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以 相对于 的增减情况由 决定． knC1C knkkn1 二项式系数的性质二项式系数的性质（ 2 ）增减性与最大值 由：2111nkkkn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 21 nk 可知，当 时， 二项式系数的性质二项式系数的性质（ 2 ）增减性与最大值 因此，当 n 为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数 取得最大值； 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn 相等，且同时取得最大值。 （ 3 ）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：nba)( n2同时由于 ，上式还可以写成：1C0 n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式...