第1页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共20页基础课教学与创新精神齐民友武汉大学数学与统计学院湖北武汉430072chiminyou@yahoo.com.cn第2页共20页第1页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共20页科学活动最本质的特点就是创新或创造.教学活动必须是最具有创造性的活动.因此,应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性.创造性不是“教”出来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成，或者说，熏陶而成的.创造性宁可说是一种心理素质，一种为人处事的态度或者习惯;它是一种最为宝贵的素质：创造始于不满足，始于否定.创造始于自信.第3页共20页第2页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共20页创造始于脚下的每一步.创造成于从心所欲不逾矩.以小平邦彦的书为例：小平邦彦是谁？1915-1997，是日本20世纪最伟大的数学家之一.第4页共20页第3页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共20页是少有的同时获得Fields奖（1954）和Wolf奖（1984-1985）的数学家之一.此书是他写的教材.日文本初版于1991年(岩波书店出版)，当时他已经76岁高龄，于1975年在东京大学退休后，在学习院大学任教.此书应是他的晚年著作.他在晚年还主编了一套日本高中教材，被美国数学会译为英文，获得广泛好评.这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神!对于我们如何创造性地做好基础课教学是很好的范例.下面从这本书里举几个例子，来说明我们关于教学中的创新的观点.1.尽早地比较系统地引入复数复数与实数的“微积分”真正地表现出本质的区别，应该从哥西—黎曼方程以及哥西定理开始.本书从变量与函数的概念开始就打破了二者的界限,这第5页共20页第4页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共20页样做有许多优点:更深刻地表现了数学的统一性.更符合历史发展的实际情况.及早介绍欧拉公式十分方便教学,特别是后续课程和其他学科的课程的教学.举一个例子2.对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理现在以一致收敛的函数项级数的逐项积分为例.先看一个习题(出自原书I,247页第42题)“举例说明，存在满足并且在区间上一致收敛于0的连续函数序列.”答案其实不难，例如取即可（或均可）.要点何在？第6页共20页第5页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共20页某个区间上的连续函数的一致收敛序列容许在积分号下求极限，应该限制于此区间为紧（通常教材上总说“有界闭区间）.紧性的作用.现在通用的教材的一个通病在于没有看到紧性的极端重要性..当非紧时不一定是巴拿赫空间.它的对偶空间更是一个麻烦问题.这个问题与构造广义函数（如函数）的关系.自变量变为（或）与函数值变为（或）在几何形象上互为“逆变”.还有没有其他的联系？如果说以上只是我们对于这个题目的“教学建议”，下面则是原书作者关于积分号下取极限的问题进一步展开.原书I,197页给出了以下定理:“定理5.10(Arzelà定理)设在闭区间上，函数第7页共20页第6页共20页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第7页共20页连续，并且一致有界，即存在不依赖于的常量使得在上恒有成立.如果函数序列收敛，并且其极限在上连续，那么这个结果(以及上面的习题)都不是特别偏僻的,例如可以参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（第二卷）.但是此书不是把这些进一步的展开作为可有可无的附加,而是作为完整的论述的有机组成部分来看待.要点何在？本定理是勒贝格控制收敛定理的特例.您的学生学勒贝格积分理论感到抽象吗？他们敢不敢应用这个理论的具体结果于自己的工作中？进而，对于数学中更深刻的结果，他们是否愿意学？学了以后有没有具体的好处？本书把这个定理用于含参数的积分在积分号下求导数（见原书Ⅱ，267页定理6.19）.关于交换极限次序的问题,就我所见,本书是最清楚明确而且不繁琐的一本.第8页共20页第7页共20页编号：时间：2021...
