第13讲函数与方程夯实基础【p32】【学习目标】1．结合二次函数的图象，掌握二次方程根的分布情况；2．理解函数零点的概念和性质，会用二分法求函数的零点．【基础检测】1．函数f(x)＝2x－8的零点是()A．3B．(3，0)C．4D．(4，0)【解析】函数f(x)的零点等价于方程f(x)＝0的根，即2x－8＝0，x＝3，故选A.【答案】A2．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.∪【解析】令f＝x2＋ax＋a，方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则f＝4－2a＋a＝4－a<0，解得a>4.故选A.【答案】A3．函数f＝x－的零点个数为()A．0B．1C.2D.3【解析】在同一直角坐标系下作出函数y＝x与y＝的图象，如图所示，由图知，两个函数只有一个交点，所以函数f(x)的零点只有1个，故选B.【答案】B4．已知f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋m，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．[－1，0)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】g(x)＝f(x)＋m＋x有两个零点，等价于f(x)＋m＋x＝0有两个根，即y＝f(x)与y＝－x－m有两个交点，画出y＝f(x)与y＝－x－m的图象，如图，由图可知，当y＝－x－m在y轴的截距不大于1时，两函数图象有两个交点，即－m≤1，m≥－1，m的取值范围是[－1，＋∞)，故选A.【答案】A【知识要点】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x轴的交点__(x1，0)，(x2，0)____(x1，0)__无交点零点个数__2____1____0__2.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有__实根__函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点函数y＝f(x)有零点．(3)函数有零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断__的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的__根__．典例剖析【p33】考点1函数零点区间的判定和求解(1)函数f＝lnx＋x－4的零点所在的区间为()A.B.C.D.【解析】函数f＝lnx＋x－4，满足f＝1＋e－4＝e－3＜0，f＝ln3－1＞0，由零点存在性定理可知函数f＝lnx＋x－4的零点所在的区间为.故选C.【答案】C(2)若a0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]上的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0. x＝6∈[1，8]，x＝－3[1，8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1，8]上存在零点．【答案】存在【小结】确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法：(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．考点2函数零点个数的判断和求解(1)函数f＝2x－零点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】在同一直角坐标系下，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．函数f＝2x－的零点等价于2x＝的根，等价于函数y＝2x和y＝的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.【答案】B(2)函数f(x)＝的零点个数是________．【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝...
