第57讲直线、平面垂直的判定与性质夯实基础【p130】【学习目标】1．掌握空间中线面垂直位置关系的定义、判定定理与有关性质；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题．不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”．2．会应用“化归思想”进行“线线垂直问题、线面垂直问题、面面垂直问题”的互相转化．【基础检测】1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【解析】对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．【答案】C2．已知直线a⊂α，则α⊥β是a⊥β的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由面面垂直的判定定理可得a⊂α，a⊥β⇒α⊥β，反之不成立，∴直线a⊂α，则α⊥β是a⊥β的必要不充分条件．【答案】B3．下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直它们交线的直线必垂直第二个平面．其中正确命题的个数有()A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】由直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质知，命题①②③④正确．【答案】C4．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④【解析】在①中，设平面BCD上的另一个顶点为A1，连接BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，则CD⊥平面ABA1，故CD⊥AB，②③④均不能推出AB⊥CD.【答案】A5．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________．【解析】考虑如图所示的直观模型，将图①固定，图②进行平移或旋转，从而把α与β的位置关系转化为研究m、n的位置关系，于是易得如下正确命题：(1)⇒m∥β或m⊂β，又m⊄β⇒⇒m⊥n.∴②③④⇒①.(2)⇒n∥α或n⊂α，又n⊄α⇒⇒α⊥β.∴①③④⇒②.【答案】②③④⇒①(或①③④⇒②)【知识要点】1．直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义(1)如果两条异面直线所成的角是直角，则这两条异面直线垂直．(2)如果一条直线和平面内__任意一条直线__都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．(3)两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．2．直线与平面、平面与平面垂直的判定定理(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(2)平面与平面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．即a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.3．直线与平面、平面与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即a⊥α，b⊥α⇒a∥b．(2)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a⊂α⇒a⊥β.典例剖析【p131】考点1直线与平面垂直的判定与性质如图①、②，已知异面直线a，b的公垂线为AB，试证：(1)若a，b都平行于平面α，则AB⊥α；(2)若a，b分别垂直于平面α，β，设α∩β＝c，则AB∥c.【解析】(1)在平面α内任取一点P，设直线a与P确定的平面与α相交于a′，直线b与P确定的平面与α相交于b′. a∥α，b∥α，∴a∥a′，b∥b′，又AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a′，AB⊥b′，∴AB⊥α.(2)过B作直线BB′⊥α，则BB′与b是相交直线，设BB′与b确定平面γ.⇒⇒c⊥γ，BB′⊥α⇒⇒⇒AB⊥γ，⇒AB∥c.【点评】1.证明线面垂直的方法主要有：①利用线面垂直的定义：a与α内任何直线垂直⇒a⊥α；②利用判定定理：⇒l⊥α.③利用第二个判定定理：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；...
