第15讲导数的概念及运算考点集训【p184】A组1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为()A．2B．3C．4D．5【解析】∵f(x)＝x2，∴f(1)＝1，f(2)＝4，∴该函数在区间[1，2]上的平均变化率为＝3，故选B.【答案】B2．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－2t2＋8t，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为()A．t＝0B．t＝1C．t＝2D．t＝4【解析】s′＝－4t＋8＝0，t＝2，选C.【答案】C3．已知函数f(x)＝mx3＋(m＋1)x2＋x＋2，若f′(1)＝18，则m等于()A．4B．3C．5D．6【解析】求导可得f′(x)＝3mx2＋2(m＋1)x＋1，f′(1)＝3m＋2(m＋1)＋1＝18，解得m＝3.故选B.【答案】B4．已知函数f(x)＝ex＋，则函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A．直角B．0C．锐角D．钝角【解析】因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝e－3<0，即该切线的倾斜角为钝角．【答案】D5．已知函数f(x)＝alnx－2ax＋b，若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则ab的值为()A．－2B．2C．－4D．4【解析】由题得f′(x)＝－2a，所以斜率为f′(1)＝－a＝2a＝－2，再由切点在切线上得f(1)＝3，－2a＋b＝3b＝－1，ab＝2.故选B.【答案】B6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．【答案】(e，e)7．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．【解析】(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①f′(x0)＝1－＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.8．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．【解析】易知点O(0，0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．(1)当O(0，0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′＝2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.(2)当O(0，0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，(*)又k＝＝x－3x0＋2，(**)联立(*)(**)，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.B组1．设函数f(x)可导，则lim等于()A．－f′(1)B．3f′(1)C．－f′(1)D.f′(1)【解析】lim＝－lim＝－f′(1)，故选C.【答案】C2．已知f＝x－5＋3sinx，则f′＝()A．－5x－6－3cosxB．x－6＋3cosxC．－5x－6＋3cosxD．x－6－3cosx【解析】已知f＝x－5＋3sinx，有f′＝－5x－6＋3cosx，故选C.【答案】C3．若曲线y＝x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于()A．2B．4C.D.【解析】y′＝2x，故切线方程为y－a2＝2a，令x＝0得y＝－a2，令y＝0得x＝，故三角形面积为·a2·＝2，解得a＝2.【答案】A4．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2.已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直，求a，b之间的关系．【解析】对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2.对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a.设C1与C2的一个交点坐标为(x0，y0)．由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直，则(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0.①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②联立①②，消去x0，得a＋b＝.
