第16讲导数与函数的单调性夯实基础【p35】【学习目标】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围．【基础检测】1．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】 函数f(x)＝lnx－x，定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－1＝＞0，解得0f(3)>f(π)B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3)D．f(π)>f(3)>f(2)【解析】f(x)＝1＋x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，则函数f(x)为增函数． 2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)．【答案】D5．定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(－x)，则满足(2x－1)f(2x－1)＜f(3)的实数x的取值范围是________．【解析】 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴由xf′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．典例剖析【p35】考点1利用导数判断和证明函数的单调性已知函数f(x)＝ex，a∈R.(1)求f(x)的零点；(2)当a≥－5时，求证：f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数．【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令f(x)＝0得x2＋a＝0，x2＝－a，当a≥0时，方程无解，f(x)没有零点；当a<0时，得x＝±.综上，当a≥0时，f(x)无零点；当a<0时，f(x)零点为±.(2)f′(x)＝ex＋ex＝.令g(x)＝x3＋x2＋ax－a(x>1)，则g′(x)＝3x2＋2x＋a，其对称轴为x＝－，所以g′(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以g′(x)>3×12＋2×1＋a＝5＋a.当a≥－5时，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．可得g(x)>g(1)＝2>0，f′(x)>0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数．【点评】应用导数法判断或证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的三步骤：(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认或推导f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．考点2利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【解析】(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．【点评】应用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．考点3已知函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝xlnx－mx2－x(m∈...
