第17讲导数与函数的极值、最值夯实基础【p37】【学习目标】了解函数在某点取得极值的充要条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上的最大(小)值．【基础检测】1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面说法正确的是()A．在(－2，1)上f(x)是增函数B．在(1，3)上f(x)是减函数C．当x＝1时，f(x)取极大值D．当x＝2时，f(x)取极大值【解析】由图象可知x∈(－1，2)上恒有f′(x)>0，在x∈(2，4)上恒有f′(x)<0，∴f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，则当x＝2时，f(x)取极大值．【答案】D2．若x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，则()A．f(x)有极大值－1B．f(x)有极小值－1C．f(x)有极大值0D．f(x)有极小值0【解析】因为x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，所以f′(1)＝0，∴a＋＝0，∴a＝－1，∴f(1)＝－1，f′(x)＝－1＋＝，当x>1时，f′(x)<0，当00，因此f(x)有极大值－1.【答案】A3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19【解析】 f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∴当－30，f(x)单调递增；当－10，f＝0，因此2－a＋1＝0，a＝3.从而函数f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)，f(x)min＝min{f(－1)，f(1)}＝f(－1)，f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.【答案】－3【知识要点】1．函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．典例剖析【p37】考点1利用导数研究函数的极值已知函数f(x)＝2ax3－3x2，其中a>0.(1)证明：函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；(2)求函数g(x)＝f(x)＋6ax2－12x的极小值．【解析】(1)f′(x)＝6ax2－6x＝6x(ax－1)．因为a>0且x<0，所以f′(x)>0.所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．(2)由题意g(x)＝2ax3＋(6a－3)x2－12x，则g′(x)＝6(x＋2)(ax－1)．令g′(x)＝0，得x＝－2或x＝(a>0)，当x<－2时，g′(x)＞0，则函数g(x)在区间上是单调递增函数；当－2＜x＜时，g′(x)<0，则函数g(x)在区间上是单调递减函数；当x>时，g′(x)>0，则函数g(x)在区间上是单调递增函数；所以，函数g(x)的极小值点为x＝，故函数g(x)的极小值是g(x)极小值＝g＝－－＝－.【点评】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f...
