第三章导数及其应用(五)同步测试卷(导数及其应用)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒【解析】 物体的运动方程为s＝1－t＋t2，∴s′＝－1＋2t，s′|t＝3＝5.【答案】C2．设f′(x)是函数f(x)＝的导函数，则f′(0)的值为()A．1B．0C．－1D.【解析】f′(x)＝＝，则f′(0)＝＝－1.故选C.【答案】C3．如图是函数y＝f的导函数y＝f′的图象，给出下列命题：①x＝－2是函数y＝f的极值点；②x＝1是函数y＝f的极值点；③y＝f的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f在区间上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④【解析】根据导函数图象可知，x＝－2是导函数f′(x)的零点且x＝－2的左右两侧导函数值符号异号，故x＝－2是极值点；x＝1不是极值点，因为x＝1的左右两侧导函数符号一致；x＝0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值；导函数在上恒大于等于零，故为函数的增区间，所以选D.【答案】D4．已知曲线f＝x3－ax2＋2在点处切线的倾斜角为，则a等于()A．2B．－2C．3D．－1【解析】因为f′＝3x2－2ax，所以f′＝3－2a，由已知得3－2a＝－1，解得a＝2，故选A.【答案】A5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在【解析】 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，函数g(x)单调递增，当x∈时，g′<0，函数g(x)单调递减，所以当x＝时，函数g(x)取得最大值，g＝4，所以a≥4.【答案】10．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______________．【解析】 f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a， 函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，当x＜ln2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞ln2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴当x＝ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，∴a＜2ln2－2.【答案】(－∞，2ln2－2)三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)已知函数f(x)＝＋lnx.(1)求函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求证：f(x)>0.【解析】(1)f′(x)＝＋＝＝，所以f′(1)＝－，又f(1)＝1，所以切线方程为y＝－x＋.(2)令h(x)＝x3＋2x2－3x－2，则h′(x)＝3x2＋4x－3，设h′(x)＝0的两根为x1，x2，由于x1x2＝－1<0，不妨设x1<0，x2>0，则h(x)在(0，x2)上是递减的，在(x2，＋∞)上是递增的，而h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，x0∈(1，2)，所以f(x)≥f(x0)＝＋lnx0，因为x0∈(1，2)，lnx0>0，所以f(x)>>0，所以f(x)>0.12．(13分)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，a∈R.(1)当a<0...
