高考数学总复习第十二章不等式选讲第76讲不等式证明的基本方法练习理（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高三选修4-5数学试题VIP免费

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第76讲不等式证明的基本方法夯实基础【p173】【学习目标】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．【基础检测】1．已知0NC．M＝ND．不确定【解析】由已知得00.故M>N.【答案】B2．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有()A.≥B.＋≥1C.≥2D.≤【解析】 4≥a＋b≥2，∴≤2，∴≥，∴＋≥≥1.【答案】B3．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.【解析】令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，命题①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；＋＝＝≥2，命题⑤正确．【答案】①③⑤4．已知a，b，c，d都是正数，若(ab＋cd)(ac＋bd)≥kabcd恒成立，则k的取值范围是________．【解析】 a，b，c，d都是正数，(ab＋cd)(ac＋bd)≥kabcd恒成立，∴k≤＝＝＋＋＋，＋＋＋＝＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝d，c＝b时取“＝”)，∴min＝4，∴k≤4，∴k的取值范围是(－∞，4]．【答案】(－∞，4]【知识要点】1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．典例剖析【p173】考点1比较法证明不等式设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．【解析】因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝，因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)．【点评】作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考点2综合法证明不等式设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)“＋>＋”是“|a－b|<|c－d|”的充要条件．【解析】(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，“＋>＋”是“|a－b|<|c－d|”的充要条件．【点评】1.综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式(1)a2≥0.(2)|a|≥0.(3)a2＋b2≥2ab，它的变形形式有：a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；a2＋b2≥(a＋b)2；≥.(4)≥，它的变形形式有：a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；＋≤－2(ab<0)．考点3分析法证明不等式(重点保分型考点——师生共研)(1)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.(2)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：a＋b＋c≥.【解析】(1)要证＋≤1，只需证a＋b＋2≤1，即证2≤，即证≤.而a＋b＝≥2，∴≤成立．∴原不等式成立．(2)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋c...

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