第十章直线与圆、圆锥曲线第62讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯实基础【p142】【学习目标】1．理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式．2．掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．【基础检测】1．点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°【解析】 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，∴a－4＋1＝0，∴a＝，即直线的斜率为，直线l的倾斜角为60°.【答案】C2．过点(2，0)且与直线x－2y＋3＝0垂直的直线方程是()A．x－2y－2＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y－4＝0D．x＋2y－2＝0【解析】因为所求直线方程与直线x－2y＋3＝0垂直，设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0，因为直线过点(2，0)，代入可得2×2＋0＋c＝0，解得c＝－4，所以所求直线的方程为2x＋y－4＝0.【答案】C3．已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．2或1D．－2或1【解析】当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2－a，根据题意得＝2－a，解得a＝2或a＝1.【答案】C4．下列说法正确的是()A.＝k表示过点P(x1，y1)的所有直线方程B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是＋＝1D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线【解析】选项A中方程只表示斜率存在的直线；选项B中纵截距是纵坐标而不是距离；选项C是在a≠0且b≠0时的直线方程，故答案选D.【答案】D5．已知直线l过点P(3，2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积取最小值时，直线l的方程为________．【解析】法一：易知直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，则A，B(0，2－3k)，所以S△AOB＝(2－3k)＝≥＝×(12＋2×6)＝12，当且仅当－9k＝，即k＝－时等号成立．所以当k＝－时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得＋＝1≥2，即ab≥24，当且仅当＝，即a＝6，b＝4时等号成立，又S△AOB＝ab，所以当a＝6，b＝4时△AOB的面积最小，此时直线＋＝1的方程为2x＋3y－12＝0.【答案】2x＋3y－12＝0【知识要点】1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴__正向__与直线l__向上方向__之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围：__0°≤α<180°__．2．直线的斜率及斜率计算公式(1)直线的倾斜角不等于90°时，其__正切值__叫做该直线的斜率，记作k＝tanα(α≠90°)；直线的倾斜角等于90°时，其斜率__不存在__．(2)过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝____．(3)k＞0⇔α∈__(0°，90°)__，k<0⇔α∈__(90°，180°)__．特别地：k＝0时，α＝0°，k不存在时，α＝90°.(4)直线的方向向量①若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则其方向向量a＝(－B，A)或(B，－A)．②若直线方程为y＝kx＋b，则其一个方向向量a＝(1，k)．③若F1(x1，y1)，F2(x2，y2)是直线上不同的两点，则其一个方向向量为a＝F1F2＝(x2－x1，y2－y1)．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式__y－y0＝k(x－x0)__不含垂直于x轴的直线斜截式__y＝kx＋b__不含垂直于x轴的直线两点式__＝__不含垂直于坐标轴的直线截距式__＋＝1__不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式__Ax＋By＋C＝0____(A，B不同为0)平面直角坐标系内的直线都适应(1)当x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为__x＝x1__；(2)当x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为__y＝y1__．4．线段的中点坐标公式线段P1P2两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则典例剖析【p142】考点1直线的倾斜角与斜率(1)图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有()A．k1
