高考数学总复习 第四章 三角函数 第21讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式夯实基础【p45】【学习目标】1．能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式；2．理解同角三角函数的基本关系式．【基础检测】1．计算：sin600°＝()A.B．－C.D．－【解析】sin600°＝－sin60°＝－.【答案】D2．已知tanα＝3，则＝()A.B.C.D．2【解析】＝＝.【答案】B3．已知f(α)＝，则f的值为()A.B．－C.D．－【解析】f(α)＝＝cosα，f＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.【答案】A4．已知在△ABC中，tanA＝－，则cosA＝________．【解析】 在△ABC中，tanA＝－，∴A为钝角，cosA<0.由＝－，sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－.【答案】－5．若sinα＋cosα＝，则sinαcosα＝________．【解析】＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝1＋2sinαcosα＝2，则sinαcosα＝.【答案】【知识要点】1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系tanα＝.2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sinαsinαcosαcos__α余弦cosα－cosαcosα－cos__αsin__α－sinα正切tanαtanα－tan__α－tan__α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限3.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的联系＝1＋2sinαcosα，＝__1－2sin__αcos__α__，＋＝2，－＝__2sin__2α__．典例剖析【p45】考点1同角三角函数关系的应用(含齐次式、知一求二)(1)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tanα＝________．【解析】已知等式两边平方得：(sinα＋2cosα)2＝sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，变形得：＝＝，整理得：3tan2α－8tanα－3＝0，即(3tanα＋1)(tanα－3)＝0，解得：tanα＝－或tanα＝3.【答案】－或3(2)已知tanx＝2，则2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝________．【解析】2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝＝＝.【答案】【点评】主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者当表达式中含有sinθ，cosθ的分式时利用公式＝tanθ化成正切．已知sinθ，cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，且<θ<2π，求θ的大小．【解析】因为sinθ，cosθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，所以由(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，得m2＝1＋2×，解得m＝.又因为<θ<2π，所以sinθcosθ＝<0，所以m＝，所以所以又因为<θ<2π，所以θ＝.【点评】当表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ时，利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．考点2诱导公式的应用已知α是第三象限角，且f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值；(3)若α＝－1920°，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝＝＝cosα.(2) cos＝，∴sinα＝－.又α是第三象限角，∴cosα＝－，∴f(α)＝cosα＝－.(3) α＝－1920°＝－360°×5－120°，∴cosα＝cos(－1920°)＝cos(－120°)＝cos120°＝－，∴f(α)＝－.【点评】应用诱导公式时，注意符号的确定原则是视α为锐角，符号是变形前的原三角函数值的符号．考点3同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sin·cos的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．【解析】(1) sinA＋cosA＝，①∴(sinA＋cosA)2＝，即1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－.则sin·cos＝(－cosA)·(－sinA)＝sinAcosA＝－.(2) sinAcosA＝－<0且00，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝，②∴由①、②可得sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝＝－.【点评】对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，若已知其中某一个式子的值，便可利用平方关系“sin2α＋cos2α＝1”，并灵活地运用方程思想，求出另两个式子的值，即(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.因此，我们把“sinα＋cosα”，“sinαcosα”，“sinα－cosα”称为三角函数中的“三剑客”，若出现某一个，则必须挖掘出另两个，方能顺利地解题．方法总结【p46】1．化简...