第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件夯实基础【p4】【学习目标】1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．【基础检测】1．下列语句中是命题的有()①空集是任何集合的真子集．②3x－2>0.③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？④把门关上．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①是能判断出真假的陈述句，故①是命题；②不能判断出真假，故②不是命题；③是疑问句，故③不是命题；④不能判断出真假，故④不是命题．故选A.【答案】A2．下列命题是真命题的为()A．若＝，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则＝D．若xy2.所以真命题为A.【答案】A3．设a>0，b>0，则“a>b”是“lna>lnb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解析】因为f＝lnx为增函数，故有a>b时，lna>lnb，同时，若lna>lnb必有a>b，故a>b是lna>lnb的充要条件，故选D.【答案】D4．已知条件p：log2<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．【解析】条件p：log2(1－x)<0，∴0<1－x<1，解得0a，若p是q的充分不必要条件，∴a≤0.则实数a的取值范围是：(－∞，0]．【答案】【知识要点】1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断__真假__的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类__真__命题、__假__命题2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于__逆否命题__，原命题的否命题等价于__逆命题__．在四种形式的命题中真命题的个数只能是__0，2，4__．3．充要条件若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的__充分不必要__条件p⇒q且q⇒/pA是B的__真子集__p是q的__必要不充分__条件p⇒/q且q⇒pB是A的__真子集__p是q的__充要__条件p⇔q__A＝B__p是q的__既不充分也不必要__条件p⇒/q且q⇒/pA，B互不__包含__集合与充要条件典例剖析【p5】考点1四种命题及其相互关系(1)命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.【答案】B(2)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．【答案】C(3)有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为真命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为真命题．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，其为真命题，①正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，显然是假命题，②错误；对于③，若q≤1，则4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根．又原命题与逆否命题同真假，故③正确；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形为不等边三角形”，显然是假命题，④错误，选C.【答案】C【小结】1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法：(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；(2)利用原命题与逆否...
