同步测试卷理科数学(十五)【p313】(空间图形的有关计算)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.B．－C.D．－【解析】由题得AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，而cos〈AB，CD〉＝＝＝，故直线AB和CD所成角的余弦值为.【答案】A2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若AG＝xAB－2yBC＋3zDH，，则x＋y＋z等于()A.B.C.D．1【解析】在平行六面体ABCD－EFGH中，AG＝AB＋BC＋CG， AG＝xAB－2yBC＋3zDH，CG＝DH，∴x＝1，－2y＝1，3z＝1，∴x＝1，y＝－，z＝，∴x＋y＋z＝.【答案】C3．已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若向量AB∥a，且|AB|＝2|a|，则B点的坐标为()A．(－5，6，24)B．(－5，6，24)或(7，－10，－24)C．(－5，16，－24)D．(－5，16，－24)或(7，－16，24)【解析】设点B(x，y，z)，那么AB＝(x－1，y＋2，z)，因为AB∥a，故有AB＝λa＝(－3λ，4λ，12λ)，得到x＝1－3λ，y＝－2＋4λ，z＝12λ，那么再利用|AB|＝2|a|＝2＝26，得到λ＝2或λ＝－2，进而得到B点坐标为(－5，6，24)或(7，－10，－24)．【答案】B4．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1【解析】根据题目条件，在空间直角坐标系O－xyz中作出该三棱锥D－ABC，如图，显然S1＝S△ABC＝×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝.【答案】D5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．8【解析】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中有，AC1＝AB＋AD＋CC1＝AB＋AD＋AA1，所以有|AC1|＝|AB＋AD＋AA1|，于是有|AC1|2＝|AB＋AD＋AA1|2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2|AB|·|AD|·cos60°＋2|AD|·|AA1|·cos60°＝25，所以|AC1|＝5.【答案】A6．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为()A．2＋B.C．1＋D．3【解析】四个球心连线是正三棱锥．棱长均为2，∴ED＝，OD＝ED＝，∴AO＝＝.∴第四个球的最高点与桌面的距离为OA加上两个半径即＋2，故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为________．【解析】建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，则A1D＝(2，0，－2)，A1E＝(0，2，－1)．设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则则即令y＝1，得n＝(2，1，2)．易知平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，则cos〈n，m〉＝＝.即所求二面角的余弦值为.【答案】8．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN＝________．【解析】如图所示，MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c－a)．【答案】(b＋c－a)9．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．【解析】设PD＝a(a＞0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，∴DP＝(0，0，a)，AE＝， cos〈DP，AE〉＝，∴＝a×，∴a＝2.∴E的坐标为(1，1，1)．【答案】(1，1，1)10．已知梯形CEPD如下图所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足AF＝λAB(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为__________．【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PA∥BE，所以建立空间直角...
