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(大纲版)高三数学全程复习方略:第十三章 极限VIP免费

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第十三章极限§13.1数学归纳法及其应用基础自测1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C2.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是()A.P(n)对n∈N*成立B.P(n)对n>4且n∈N*成立C.P(n)对n<4且n∈N*成立D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立答案D3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2答案D4.已知f(n)=++…+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=+C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=+答案D5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立答案D例1用数学归纳法证明:时,…+证明(1)当n=1时,左边=右边=左边=右边,所以等式成立.(2)假设n=k(k∈N*)时等式成立,即有…+则当n=k+1时,…+==所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.例2试证:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明方法一(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.方法二(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设,设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数),将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立.根据(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.例3用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+)(1+)…(1+)>均成立.证明(1)当n=2时,左边=1+;右边=. 左边>右边,∴不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即(1+)(1+)…(1+)>则当n=k+1时,(1+)(1+)…(1+)>∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4(12分)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.解(1)由已知得又 {an}的公差大于0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.∴d==2,a1=1.2分 Tn=1-bn,∴b1=,当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简,得bn=bn-1,5分∴{bn}是首项为,公比为的等比数列,即bn=·()n-1=,∴an=2n-1,bn=.6分(2) Sn=n=n2,∴Sn+1=(n+1)2,.以下比较与Sn+1的大小:当n=1时,,S2=4,∴<S2,当n=2时,,S3=9,∴<S3,当n=3时,=,S4=16,∴<S4,当n=4时,=,S5=25,∴>S5.猜想:n≥4时,>Sn+1.下面用数学归纳法证明:①当n=4时,已证.②假设当n=k(k∈N*,k≥4)时,>Sk+1,即>(k+1)2.9分那么,n=k+1时,=3·>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1,∴n=k+1时,>Sn+1也成立.11分由①②可知n∈N*,n≥4时,>Sn+1都成立.综上所述,当n=1,2,3时,<Sn+1,当n≥4时,>Sn+1.12分1.用数学归纳法证明:n∈N*时,1-+…++…+.证明(1)当n=1时,左边=1-===右边,∴等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即1-+…+=+…+.则当n=k+1时,1-+…+=+…+==即当n=k+1时,等式也成立,所以由(1)(2)知对任意的n∈N*等式成立....

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