单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.如果一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3s末的瞬时速度是()A.7m/sB.6m/sC.5m/sD.8m/s2.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<13.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)B.[-√3,√3]C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.(-√3,√3)4.函数f(x)=x2+x-lnx的零点的个数是()A.0B.1C.2D.35.(2018全国Ⅰ,理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.已知函数f(x)=-2f'(1)3√x-x2的最大值为f(a),则a等于()A.116B.3√44C.14D.3√487.已知定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式ex(f(x)-1)>4(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)8.设函数f(x)=ex(x+3x-3)−ax,若不等式f(x)≤0有正实数解,则实数a的最小值为()A.3B.2C.e2D.e二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.10.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a=.11.若f(x)=ae-x-ex为奇函数,则f(x-1)0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0;⑤f(1)f(3)>0;⑥f(1)f(3)<0.其中正确的结论是.(填序号)14.已知过点A(1,m)恰能作曲线f(x)=x3-3x的两条切线,则m的值是.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=(x-√2x-1)·e-x(x≥12).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[12,+∞)内的取值范围.16.(13分)(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.17.(13分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且pq∈[1,x0)∪(x0,2],满足|pq-x0|≥1Aq4.单元质检三导数及其应用1.C解析根据瞬时速度的意义,可得3s末的瞬时速度是v=s'(3)=-1+2×3=5.2.B解析求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.3.B解析由题意知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-√3≤a≤√3.4.A解析由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当012时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的最小值为f(12)=34+ln2>0,所以f(x)无零点.5.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得曲线f(x)在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.6.B解析 f'(x)=-2f'(1)3·12√x-2x,∴f'(1)=-13f'(1)-2,解得f'(1)=-32,∴f(x)=√x-x2,f'(x)=1-4x√x2√x.令f'(x)>0,解得x<3√44;令f'(x)<0,解得x>3√44,故f(x)在(0,3√44)内递增,在(3√44,+∞)内递减,故f(x)的最大值是f(3√44),a=3√44.7.A解析令g(x)=ex(f(x)-1),则g'(x)=ex(f(x)-1)+exf'(x)=ex(f(x)+f'(x)-1).因为f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.所以函数g(x)在R上单调递增.因为f(0)=5,所以g(0...
