考点规范练21三角恒等变换一、基础巩固1.已知sin2α=13,则cos2(α-π4)=()A.-13B.13C.-23D.232.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()A.43B.-43C.43或0D.-43或03.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,[-π4,3π4]C.π,[-π8,3π8]D.2π,[-π4,π4]4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π5.已知α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为()A.17√250B.17√350C.13√350D.2√256.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=cos2x-sin2x的图象()A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π2个单位长度7.已知函数f(x)=cos(4x-π3)+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为()A.[-π3,π6]B.[-π4,π4]C.[π6,2π3]D.[π4,3π4]8.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.9.设f(x)=1+cos2x2sin(π2-x)+sinx+a2sin(x+π4)的最大值为√2+3,则实数a=.10.已知点(π4,1)在函数f(x)=2asinxcosx+cos2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.11.已知函数f(x)=√32−√3sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值;(2)求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值.二、能力提升12.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+√3cosωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016π)成立,则ω的最小值为()A.12016πB.14032πC.12016D.1403213.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈(0,π2),则cos(α-β)的值等于()A.-12B.12C.-13D.232714.已知函数f(x)=2sin(x+5π24)cos(x+5π24)-2cos2(x+5π24)+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.15.(2018北京,文16)已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-π3,m]上的最大值为32,求m的最小值.三、高考预测16.已知f(x)=(1+1tanx)sin2x-2sin(x+π4)·sin(x-π4).(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈[π12,π2],求f(x)的取值范围.考点规范练21三角恒等变换1.D解析由题意得cos2(α-π4)=12(cosα+sinα)2=12(1+sin2α)=23.2.C解析因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tanα1-tan2α=43.综上所述,故选C.3.C解析由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+√22(√22sin2x-√22cos2x)=12+√22sin(2x-π4),则T=2π2=π.又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.4.A解析由题意知f(x)=√2cos(x+π4),f(x)的部分图象如图所示.要使f(x)在[-a,a]上是减函数,则a的最大值为π4.5.A解析因为α为锐角,cos(α+π6)=45,所以sin(α+π6)=35,sin[2(α+π6)]=2425,cos[2(α+π6)]=725,所以sin(2α+π12)=sin[2(α+π6)-π4]=2425×√22−725×√22=17√250,故选A.6.A解析 y=sin2x+cos2x=√2(√22sin2x+√22cos2x)=√2cos[2(x-π8)],y=cos2x-sin2x=√2(√22cos2x-√22sin2x)=√2cos[2(x+π8)]=√2cos[2(x+π4-π8)],∴只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移π4个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象.7.B解析 函数f(x)=cos(4x-π3)+2cos22x=cos(4x-π3)+1+cos4x=12cos4x+√32sin4x+1+cos4x=32cos4x+√32sin4x+1=√3sin(4x+π3)+1,∴y=g(x)=√3sin2x+1.由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z,当k=0时,得-π4≤x≤π4,故选B.8.√21解析因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=√2sin(2x+π4)+1,所以A=√2,b=1.9.±√3解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sin(x+π4)=cosx+sinx+a2sin(x+π4)=√2sin(x+π4)+a2sin(x+π4)=(√2+a2)sin(x+π4).依题意有√2+a2=√2+3,则a=±√3.10.解(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+co...
