高考大题规范解答系列(五)——解析几何考点一范围问题例1(2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【分析】①设出A，B的坐标及点P的坐标，利用PA，PB的中点在抛物线上建立方程，利用根与系数的关系求得点A，B，P的纵坐标之间的关系，由此证明结论成立．②先根据根与系数的关系，求得|PM|，再表示出△PAB的面积，最后结合点P在椭圆上，并利用二次函数在给定区间的值域，求得三角形面积的取值范围．【标准答案】——规范答题步步得分(1)设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2).1分因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程()2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.3分所以y1＋y2＝2y0，4分因此，PM垂直于y轴.5分(2)由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，7分|y1－y2|＝2.9分因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0)，10分因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，因此，△PAB面积的取值范围是[6，].12分【评分细则】①设出点的坐标得1分．②利用PA，PB的中点在C上，建立二次方程得2分．③由韦达定理得y1＋y2＝2y0得1分．④由y1＋y2＝2y0得点M的纵坐标为y0，又点P纵坐标为y0，因此PM垂直于y轴，得1分．⑤结合韦达定理求|PM|，得2分．⑥求出|y1－y2|，得2分．⑦正确写出△PAB的面积，得1分．⑧合理的转化为二次函数求出△PAB面积的范围，得2分．【名师点评】1．核心素养：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算．2．解题技巧：在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x、y轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．3．解决范围问题的答题模板〔变式训练1〕(2020·山东烟台期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是其右焦点，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点，|AF|＋|BF|＝8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设Q(3,0)，若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围．[解析](1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，由椭圆的对称性可知，|AF|＝|F1B|，所以|AF|＋|BF|＝|BF1|＋|BF|＝2a＝8，所以a＝4，又e＝＝，a2＝b2＋c2，解得c＝2，b＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则QA＝(x1－3，y1)，QB＝(x2－3，y2)，联立，得(4k2＋1)x2－16＝0，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，因为∠AQB为锐角，所以QA·QB>0，所以QA·QB＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝9－3(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＝9－>0，解得k>或k<－.考点二定点、定值问题例2(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【分析】①看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程．②看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明OQ⊥PF.【标准答案】——规范答题步步得分(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)．NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1分由NP＝NM，得x0＝x，y0＝y，3分因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，5分因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.6分(2)由题意知F(－1,0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，7分OQ·PF＝3＋3m－tn，8分OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，9分由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，10分又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11分又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分【评分细则】①设出点的坐标，并求出NP和NM得1分．②由NP＝NM，正确求出x0＝x，y0＝y得2分．③代入法求出＋＝1得2分．④化...
