第七章第8课时立体几何中的向量方法课时闯关(含解析)一、选择题1.(2012·天水调研)已知二面角α-l-β的大小是,m,n是异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n所成的角为()A.B.C.D.解析:选B. m⊥α,n⊥β,∴异面直线m,n所成的角的补角与二面角αlβ互补.又 异面直线所成角的范围为,∴m,n所成的角为.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对解析:选C.以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).∴PM=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),AM=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),∴PM·AM=(,1,-)·(-,2,0)=0,即PM⊥AM,∴AM⊥PM.3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成的角为()A.60°B.45°C.30°D.90°解析:选D.建立坐标系如图所示,易得M(0,0,),A1(0,,0),A(0,,),B1(1,0,0),∴AB1=(1,-,-),A1M=(0,-,).∴AB1·A1M=1×0+3-=0,∴AB1⊥A1M.即AB1⊥A1M.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是()A.B.C.D.解析:选C.建立空间直角坐标系如图所示.设正方体的棱长为1,设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ,则D(0,0,0),A(1,0,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),BC1=(-1,0,1),设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则,令z=1,则x=-1,y=1.∴n=(-1,1,1),∴sinθ=|cos〈n,BC1〉|==, θ∈,∴cosθ==.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E,∴DA1=(1,0,1),DE=,设n=(x,y,z)为平面A1DE的法向量,则,令z=-1,则x=1,y=-,∴n=,取平面ABCD的法向量m=(0,0,1)则cos〈m,n〉==-,故所求锐二面角的余弦值为.二、填空题6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为________.解析:由题知,BP⊥AB,BP⊥BC.所以即解得,x=,y=-,z=4.答案:,-,47.(2012·贵阳调研)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________.解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),∴BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1),∴cos〈BC1,AE〉==.答案:8.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是________.解析:如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则.令x=1,则n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离d===.答案:三、解答题9.(2011·高考辽宁卷)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角QBPC的余弦值.解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)证明:依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).所以PQ·DQ=0,PQ·DC=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则即因此可取n=(0,-1,-2).同理,设m是平面PBQ的法向量,则可取m=(1,1,1).所以cos〈m,n〉=-.故二面角QBPC的余弦值为-.10.(2011·高考福建卷节选)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.(2)设AB=AP,若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长....