突破点14圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第167页)提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线).提炼2圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝；②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；②双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝±2px(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为x＝∓；②抛物线x2＝±2py(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为y＝∓.提炼3弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切．回访1圆锥曲线的定义与方程1．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1D[由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．7C[ F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立得x2－x＋＝0.∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.由于|AB|＝xA＋xB＋p，∴|AB|＝＋＝12.]回访2圆锥曲线的几何性质3．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2[如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得，2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]4．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．[双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝＝＝.]5．(2013·山东高考改编)抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.[ 双曲线C2：－y2＝1，∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′.设M(x0，y0)，则y0＝x. kMF′＝kFF′，∴＝.①又 y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②由①②得p＝.]回访3弦长问题6．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12B[抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1. 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.]7．(2013·全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4C[设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，∴y＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2. F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.](对应学生用书第167页)热点题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型分...
