第64课椭圆的简单几何性质1．（2012烟台质检）设、为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交、两点，当四边形面积最大时，的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵面积，当且仅当、为椭圆短轴上两端点时等号成立，∴不妨设的坐标为，∴．2．（2012佛山二模）已知直线：与椭圆：交于两点，为椭圆的点，则使的面积为的点的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴点到直线的距离，设过点的直线方程为，∴直线和直线的距离，∴，解得或，当时，由，得，∵，∴有两解．当时，由，得，∵，∴无解．3．（2011陕西高考）设椭圆:过点，离心率为．（1）求的方程；（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．【解析】（1）将点代入的方程得,∴，又得，即，∴，∴的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，∵，即，∴的中点坐标，，∴所截线段的中点坐标为．4．已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与该椭圆有两个交点，当线段的中点在直线上时，求的取值范围.【解析】（1）依题意：∴.由，得.∴.∴所求椭圆方程为.（2）由，得，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，∴（*）设坐标分别为，，∵线段的中点在直线上，∴，即，∴代入（*）得：，∴，∴或.∴的取值范围是．4．（2012陕西高考）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．【解析】（1）由已知可设椭圆的方程为，∵椭圆和椭圆的离心率为，∴，解得．∴椭圆的方程为．（2）设两点的坐标分别为，，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，∴可设直线的方程的方程为．∴椭圆的方程为，由，得，由，得，由，得，即，解得，∴直线的方程为或．6．（2012西城二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，求（为原点）面积的最大值．APBOxy【解析】（1）由，得．①由椭圆经过点，得．②联立①②，解得，．∴椭圆的方程是．（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．令，得．设，，则，．∴．∵，设，则．当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．
