1.3.2函数的极值与导数内容要求1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.()(2)若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点.()(3)若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f(x)在区间(a，b)上没有极值点.()提示(1)函数f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值f(x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点，(2)错.(3)由极值的定义可知(3)正确.答案(1)×(2)×(3)√知识点2求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.【预习评价】函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞3，令f′(x)＜0得－1＜x＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.答案233－3题型一求函数的极值【例1】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值.解函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.题型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)知f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1
