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(完整版)考研线性代数知识点全面总结,推荐文档VIP免费

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《线性代数》复习提纲第一章、行列式1.行列式的定义:用2n个元素ija组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2.行列式的计算一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。n阶行列式也可定义:nqqqnaaa21t211-D)(,t为nqqq21的逆序数4.行列式性质:1、行列式与其转置行列式相等。2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。3、行列式某行(列)乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。(按行、列展开法则)7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则::若线性方程组的系数行列式0D,则方程有且仅有唯一解DDDDxDDnn2211x,x,,。:若线性方程组无解或有两个不同的解,则系数行列式D=0.:若齐次线性方程组的系数行列式0D,则其没有非零解。:若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D=0。6.112nrrrnrrrrO,11(1)221nrnnrrnrrrrN()nababadbccdcdONNO,1232222123111111231111()nnijnijnnnnnxxxxxxxxxxxxxxLLLMMMML,(两式要会计算)题型:Page21(例13)第二章、矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2.矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=nk*|A|。只有方阵才有幂运算。(3)转置:(kA)T=kAT,TTABABT(4)方阵的行列式:AAT,AkkAn,BAAB(5)伴随矩阵:EAAAAA**,-1)A(EAA*,*A的行元素是A的列元素的代数余子式(6)共轭矩阵:)=(Aija,A+B=A+B,AkkA,BAAB(7)矩阵分块法:srsrssrrBABABABA11111111BA,Tsrr11sT11TAAAAATT3.对称阵:方阵AAT。对称阵特点:元素以对角线为对称轴对应相等。3.矩阵的秩(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法:一般不用定义求,而用下面结论:范德蒙德行列矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。(3)0≤R(nmA)≤min{m,n};ARART;若B~A,则R(A)=R(B);若P、Q可逆,则R(PAQ)=R(A);max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B);若AB=C,R(C)≤min{R(A),R(B)}4.逆矩阵(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质:111ABAB,'AA'1-1-;(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件:①|A|≠0;②r(A)=n;③A->I;(4)逆的求解:○1伴随矩阵法A*1-AA;②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:1A)(5)方阵A可逆的充要条件有:○1存在有限个初等矩阵1P,⋯,lP,使lPPPA21○2EA~第三章、初等变换与线性方程组1、初等变换:○1BAji,○2BAki,○3BAji+k性质:初等变换可逆。等价:若A经初等变换成B,则A与B等价...

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