《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n个元素ija组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM、代数余子式ijjiijMA)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。n阶行列式也可定义：nqqqnaaa21t211-D）（，t为nqqq21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D，则方程有且仅有唯一解DDDDxDDnn2211x,x，，。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0.：若齐次线性方程组的系数行列式0D，则其没有非零解。：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。6.112nrrrnrrrrO，11(1)221nrnnrrnrrrrN()nababadbccdcdONNO,1232222123111111231111()nnijnijnnnnnxxxxxxxxxxxxxxLLLMMMML，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=nk*|A|。只有方阵才有幂运算。（3）转置：（kA）T=kAT，ＴＴABABT（4）方阵的行列式：AAT，AkkAn，BAAB（5）伴随矩阵：EAAAAA**，－１）Ａ（EAA*，*A的行元素是A的列元素的代数余子式（6）共轭矩阵：）＝（Ａija，A+B=A+B，AkkA，BAAB（7）矩阵分块法：srsrssrrBABABABA11111111BA，Tsrr11sT11TAAAAATT3．对称阵：方阵AAT。对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。3．矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：范德蒙德行列矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。（3）0≤R(nmA)≤min{m,n}；ARART；若B~A，则R(A)=R(B)；若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A);max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)；若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：111ABAB，'AA'1-1-；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n;③A->I;（4）逆的求解：○1伴随矩阵法A*1-AA；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:1A）（5）方阵A可逆的充要条件有：○1存在有限个初等矩阵1P，⋯，lP，使lPPPA21○2EA~第三章、初等变换与线性方程组1、初等变换：○1ＢＡｊｉ，○2ＢＡｋｉ，○3ＢＡｊｉ＋ｋ性质：初等变换可逆。等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价...
