题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-45).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.2.(2019北京,文15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tanB.4.已知函数f(x)=√3cos(2x-π3)-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[-π4,π4]时,f(x)≥-12.5.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-π3,m]上的最大值为32,求m的最小值.6.(2019福建泉州5月质检,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cosC+c·cosB=0.(1)若△ABC的面积为√32,求c;(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)由角α的终边过点P(-35,-45),得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45),得cosα=-35,由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.2.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-2×3×c×(-12).因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-12).解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=√32.由正弦定理得sinA=absinB=3√314.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sinA=3√314.3.(1)证明根据正弦定理,可设asinA=bsinB=csinC=k(k>0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=35.所以sinA=√1-cos2A=45.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+35sinB,故tanB=sinBcosB=4.4.(1)解f(x)=√32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)证明因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin(2x+π3)≥sin(-π6)=-12.所以当x∈[-π4,π4]时,f(x)≥-12.5.解(1)因为f(x)=1-cos2x2+√32sin2x=√32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12,所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-π6)+12.因为x∈[-π3,m],所以2x-π6∈[-5π6,2m-π6].要使f(x)在[-π3,m]上的最大值为32,即sin(2x-π6)在[-π3,m]上的最大值为1.所以2m-π6≥π2,即m≥π3.所以m的最小值为π3.6.解(1)∵(2a+b)cosC+ccosB=0,∴(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,即2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0.∴2sinAcosC+sin(B+C)=0,即2sinAcosC+sinA=0.∵A∈(0,π),∴sinA≠0.∴cosC=-12.∵C∈(0,π),∴sinC=√32.∴S△ABC=12a·bsinC=√3ab4=√32.∴ab=2.在△ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=√23.(2)∵cosC=-12,∴C=120°.又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.记∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=msinθ.在△ACD中,msin30°=bsinθ,∴b=2msinθ.∴b=2a.又a+b=5,∴a=53,b=103.
