题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.3.(2019北京,文19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为2√7.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设⃗PF=λ1⃗FD,⃗PG=λ2⃗GD,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.(2019天津,文19)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知√3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.6.(2019全国大联考,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,且圆x2+y2-2x-3y=0的圆心在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=mx+n与椭圆C只有一个公共点M,且与直线x=4相交于点N,问x轴上是否存在点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.(1)证明设P(x0,y0),A(14y12,y1),B(14y22,y2).因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程(y+y02)2=4·14y2+x02,即y2-2y0y+8x0-y02=0的两个不同的实根.所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知{y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,所以|PM|=18¿)-x0=34y02-3x0,|y1-y2|=2√2(y02-4x0).因此,△PAB的面积S△PAB=12|PM|·|y1-y2|=3√24¿-4x0)32.因为x02+y024=1(x0<0),所以y02-4x0=-4x02-4x0+4∈[4,5],因此,△PAB面积的取值范围是[6√2,15√104].2.(1)解由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.又c=√a2-b2=√3,所以离心率e=ca=√32.(2)证明设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x02+4y02=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.所以四边形ABNM的面积S=12|AN|·|BM|=12(2+x0y0-1)(1+2y0x0-2)=x02+4y02+4x0y0-4x0-8y0+42(x0y0-x0-2y0+2)=2x0y0-2x0-4y0+4x0y0-x0-2y0+2=2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.(1)解由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=y1-1x1x+1.令y=0,得点M的横坐标xM=-x1y1-1.又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=|x1kx1+t-1|.同理,|ON|=|x2kx2+t-1|.由{y=kx+t,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.所以|OM|·|ON|=|x1kx1+t-1|·|x2kx2+t-1|=|x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2|=|2t2-21+2k2k2·2t2-21+2k2+k(t-1)·(-4kt1+2k2)+(t-1)2|=2|1+t1-t|.又|OM|·|ON|=2,所以2|1+t1-t|=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).4.解(1)由已知:直线m的方程为y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为(32p,p),由已知(√7)2+(32p)2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D(-2k,0),联立{y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<12.设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2.⃗PF=λ1⃗FD(⇒x3,y3-2)=λ1(-2k-x3,-y3),⃗PG=λ2⃗GD(⇒x4,y4-2)=λ2(-2k-x4,-y4),所以λ1=x3-2k-x3=-kx3kx3+2,λ2=-kx4kx4+2.则λ1+λ2=-kx3kx3+2−kx4kx4+2=-2k2x3x4+2k(x3+x4)k2x3x4+2k(x3+x4)+4.将x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解(1)设椭圆的...
