题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.2.设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.3.(2019贵州遵义模拟,20)设函数f(x)=13x3-12x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)已知函数g(x)=f(x)-12ax2+23,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.(2019江西吉安一中等八校联考,21)已知函数f(x)=12ax-a+1-lnxx.(1)若函数f(x)为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.6.(2019北京,文20)已知函数f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题1.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)内单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增.③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln(-a2))内单调递减,在区间(ln(-a2),+∞)内单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln(-a2)时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln(-a2))=a2[34-ln(-a2)].从而当且仅当a2[34-ln(-a2)]≥0,即a≥-2e34时f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2e34,1].2.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,则当x∈(1a,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=1a,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2ex≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不符合题意.②当x1>x2,即0
1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1a)1a(1a,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1a)1a(1a,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).3.解(1)因为f(x)=13x3-12x2+ax,a∈R,所以f'(x)=x2-x+a.因为x=2是f(x)的极值点,所以f'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.(2)因为g(x)=13x3-12(1+a)x2+ax+23,所以g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).①当a≥1时,x∈(0,1),g'(x)>0恒成立,即g(x)单调递增.又g(0)=23>0,因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当00,即g(x)单调递增;x∈(a,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减.又g(0)=23>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,所以13−12(1+a)+a+23<0.解得a<-1,舍去.③当a≤0时,x∈(0,1),g'(x)<0,即g(x)单调递减;又g(0)=23>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,解得a<-1满足条件.综上可得,a的取值范围是(-∞,-1).4.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(...
