第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图．1.(必修5P77练习2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.2.(必修5P75例1(1)改编)不等式2x2－x－1>0的解集是________．答案：∪(1，＋∞)解析：由2x2－x－1>0，∴(2x＋1)(x－1)>0，∴x>1或x<－.3.(必修5P79习题1(3)改编)不等式8x－1≤16x2的解集是________．答案：R解析：原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，则x∈R，故不等式的解集为R.4.(必修5P80习题9改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.5.(必修5P80习题8(2)改编)关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则a＋b＝________．答案：－3解析：由题意知，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.∴a＋b＝－3.1.一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程一元二次不等式一般式y＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a＞0)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)图象与解Δ>0x＝x1，x＝x2x
x2x10(a>0)的求解的算法过程[备课札记]题型1一元二次不等式的解法例1解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当＜－1，即a＞－2，解得≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求实数a、b的值；(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.解：(1) 不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，∴∴(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)， a>0，∴(x＋1)(ax－a＋2)>0(x＋1)>0，①若－1＝，即a＝1，解集为{x|x≠－1}；②若－1>，即01，解集为.题型2由二次不等式的解求参数的值或范围例2已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m<1－.综上可知m的取值范围是(－∞，1－)．(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0
