2.3.2双曲线的简单几何性质双基达标限时20分钟1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()．A．－B．－4C．4D.解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.答案A2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()．A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析令x2－＝0，则y＝±x.答案C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由离心率为，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.故选D.答案D4．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案－＝15．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．解析双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1，2)，则1<<2，解得－120，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.所以两双曲线有相同的焦点．答案D9．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为________．解析由已知设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由e＝，得e2＝＝＝1＋＝.∴＝，则＝，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.答案y＝±x10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|＝2c，|PF2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.答案＋111．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程．解设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，则－＝λ，从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1.12．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A、B两点，且ON＝(OA＋OB)．(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且CD·AB＝0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解(1)由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0.且x1＋x2＝.∵ON＝(OA＋OB)，∴N是AB的中点，∴＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，4)．∵CD·AB＝0，∴CD垂直AB，∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3，6)．|CD|＝|x3－x4|＝＝4，|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，|MA|＝|MB|＝2，即A、B、C、D到M的距离相等，∴A、B、C、D四点共圆．
