课时跟踪检测（二十五）平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.解析：由题意得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)2．(2018·南京学情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，所以c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4.答案：43．(2018·苏州中学测试)已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，AP＝AB＋tAC(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P(x，y)，则由AP＝AB＋tAC(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得所以－5＜t＜－3.答案：(－5，－3)4．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：－5．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.解析：AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，所以AC＝2AQ＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(－2,7)，所以BC＝3PC＝(－6,21)．答案：(－6,21)6．(2018·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，)，则|AP＋BP＋OP|的取值范围是________．解析：因为AB＝2，所以AB的中点M在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如图所示)，则|AP＋BP＋OP|＝|2MP＋OP|，当M点为射线OP与圆的交点时，|2MP＋OP|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|2MP＋OP|的最大值为11，所以|AP＋BP＋OP|的取值范围是[7,11]．答案：[7,11]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．答案：(－23，－12)2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝________.解析：因为a－b＝(3,1)，所以a－(3,1)＝b，则b＝(－4,2)．所以2a＋b＝(－2,6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.答案：－13．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ＝________.解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝________(用a，b表示)．解析：如图，因为AC＝a，BD＝b，所以AD＝AO＋OD＝AC＋BD＝a＋b.因为E是OD的中点，所以＝，所以|DF|＝|AB|.所以DF＝AB＝(OB－OA)＝×＝AC－BD＝a－b，所以AF＝AD＋DF＝a＋b＋a－b＝a＋b.答案：a＋b5．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝(x，y)，因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)，|c|＝2，且a∥c，可得2x＝y，并且x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4或x＝－2，y＝－4.所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．答案：(2,4)或(－2，－4)6．(2018·白蒲中学高三期末)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：(0,2)7．(2018·溧水高级中学测试)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的...
