3个附加题综合仿真练(二)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC＝BD，BA的延长线交CD的延长线于点E.求证：AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线.证明：因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以∠DAE＝∠BCD，∠FAE＝∠BAC＝∠BDC.因为BC＝BD，所以∠BCD＝∠BDC，所以∠DAE＝∠FAE，所以AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．B．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点，(0,1)分别变换为点，.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解：(1)设M＝，则＝，＝，即解得则M＝.(2)设矩阵M的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)＝＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f(λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin＝m(m∈R)，圆C的参数方程为(t为参数)．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．解：由ρsin＝m，得ρsinθcos－ρcosθsin＝m，即x－y＋m＝0，即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C到直线l的距离d＝＝，解得m＝－1或m＝－5.D．[选修4－5：不等式选讲]已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：(2＋x)(2＋y)·(2＋z)≥64.证明：因为x为正数，所以2＋x≥2.同理2＋y≥2，2＋z≥2.所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥2·2·2＝8.因为xyz＝8，所以(2＋x)(2＋y)(2＋z)≥64.2.在平面直角坐标系xOy中，点F(1,0)，直线x＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y＝n的交点为P.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．解：(1)因为直线y＝n与x＝－1垂直，所以MP为点P到直线x＝－1的距离．连结PF(图略)，因为P为线段MF的中垂线与直线y＝n的交点，所以MP＝PF.所以点P的轨迹是抛物线．焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.所以曲线E的方程为y2＝4x.(2)证明：由题意，过点M(－1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y－n＝k(x＋1)，联立方程得ky2－4y＋4k＋4n＝0，所以Δ1＝16－4k(4k＋4n)＝0，即k2＋kn－1＝0(*)，因为Δ2＝n2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k1，k2，因为k1·k2＝－1，所以∠AMB＝90°，为定值．3．对于给定的大于1的正整数n，设x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，记满足条件的所有x的和为An.(1)求A2；(2)设An＝，求f(n)．解：(1)当n＝2时，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故满足条件的x共有4个，分别为x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A2＝22.(2)由题意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法；an有n－1种取法，由分步计数原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)，即满足条件的x共有nn(n－1)个，当a0分别取0,1,2，…，n－1时，a1，a2，…，an－1各有n种取法，an有n－1种取法，故An中所有含a0项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝；同理，An中所有含a1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1项的和为(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；当an分别取i＝1,2，…，n－1时，a0，a1，a2，…，an－1各有n种取法，故An中所有含an项的和为(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn.所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn＝(nn＋1＋nn－1)，故f(n)＝nn＋1＋nn－1.
