6个解答题综合仿真练(五)1.如图，在四面体ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：(1)EF＝BC；(2)平面EFD⊥平面ABC.证明：(1)因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD.又G为AD的中点，故E为AB的中点．同理可得，F为AC的中点，所以EF＝BC.(2)因为AD＝BD，由(1)知，E为AB的中点，所以AB⊥DE.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，由(1)知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF＝E，DE⊂平面EFD，EF⊂平面EFD，所以AB⊥平面EFD，又AB⊂平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin(2A＋B)＝sinC－sinB.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求AB·AC的最大值．解：(1)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，B＝π－C－A，所以sin(2A＋B)＝sin(π－C＋A)＝sin(C－A)，sinB＝sin(C＋A)，由sin(2A＋B)＝sinC－sinB，得sin(C－A)＋sinB＝sinC，所以sin(C－A)＋sin(C＋A)＝sinC，即sinCcosA－cosCsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝sinC，所以2sinCcosA＝sinC.在△ABC中，sinC≠0，所以cosA＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，由(1)知A＝，又a＝2，所以22＝b2＋c2－2bc·，即4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，bc有最大值4.所以AB·AC＝bccosA≤2，此时a＝b＝c＝2，所以AB·AC的最大值是2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝b2经过椭圆E：＋＝1(0
