1求数列前n项和的8种常用方法一.公式法（定义法）：1.等差数列求和公式：11()(1)22nnnaannSnad特别地，当前n项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：（1）1q，1nSna；（2）1q，111nnaqSq，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nkk12123(1)nnnL；（2）21nkk222211631123(1)(21)()(1)2nnnnnnnL；（3）31nkk33332(1)2123[]nnnL；（4）1(21)nkk2135(21)nnL.例1已知3log1log23x，求23nxxxxL的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得23nnSxxxxL＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21例2设123nSnL，*nN,求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：易知)1(21nnSn，)2)(1(211nnSn∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴当88n，即8n时，501)(maxnf.二.倒序相加法:如果一个数列na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是2将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.例3求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S⋯⋯⋯⋯①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S⋯⋯⋯⋯②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5例4函数1xfxx，求1111220121201220112fffffffLL的值.三.错位相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.例5求和：132)12(7531nnxnxxxS⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列21n的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）即：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn变式求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，22nn的通项是等差数列2n的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①14322226242221nnnS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得，1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1242nnnS四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解3与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于1nncaa，其中na是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是1nafnfn.常见裂项公式：（1）111(1)1nnnn，1111()()nnkknnk；111111()nnnnaadaa（na的公差为d）；（2）1111()nnnnaadaa.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]nnnnnnn；（4）1111()(21)(21)22121nannnn；)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan；（5）nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则；（6）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin；（7）11(1)!!(1)!nnnn；（8）常见放缩公式：21211112()2()nnnnnnnnn.例6求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例7求和1111133557(21)(21)nSnnL.例8在数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和.解： 211211nnnnnan4∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列nb的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn例9求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）∴89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）＝]}88tan89[tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1{(tan1sin1＝)0tan89(tan1sin1＝1cot1sin1＝1sin1cos2∴原等式成立变式求11113153563nS.解：111131535631111133...
