高考数学二轮复习 14个填空题专项强化练（十五）推理与证明-人教版高三数学试题VIP免费

14个填空题专项强化练(十五)推理与证明A组——题型分类练题型一合情推理1．已知不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，照此规律总结出第n个不等式为________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，所以照此规律可得到第n个不等式为1＋＋＋…＋＋＜＝.答案：1＋＋＋…＋＋＜2．对于命题：若O是线段AB上一点，则有·OA＋·OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________________________________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有VOBCD·OA＋VOACD·OB＋VOABD·OC＋VOABC·OD＝0.答案：VOBCD·OA＋VOACD·OB＋VOABD·OC＋VOABC·OD＝03．观察下列等式：＋2＝4，×2＝4；＋3＝，×3＝；＋4＝，×4＝；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为________________________．解析：由归纳推理得＋(n＋1)＝＝，×(n＋1)＝，所以得出结论＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N*)．答案：＋(n＋1)＝×(n＋1)(n∈N*)4．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为xx0＋yy0＝r2.类比上述性质，可以得到过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.答案：＋＝1题型二演绎推理1．已知函数f(x)＝x3＋x，对于等差数列{an}满足：f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，Sn是其前n项和，则S2017＝________.解析：因为函数f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上单调递增，又因为f(a2－1)＝2，f(a2016－3)＝－2，则a2－1＝－(a2016－3)，即a2＋a2016＝4，即a1＋a2017＝4.则S2017＝(a1＋a2017)＝4034.答案：40342.如图，在平面直角坐标系xOy中，分别在x轴与直线y＝(x＋1)上从左向右依次取点Ak，Bk，k＝1,2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．解析：因为△AkBkBk－1是一个内角为的直角三角形，易得A1A2＝1，且＝2,所以△A10B10A11的边长是以A1A2＝1为首项，2为公比的等比数列的第10项，所以△A10B10A11的边长是1×29＝512.答案：5123.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量OP的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：①若θ＝60°，P(2，－1)，则|OP|＝；②若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)；③若OP＝(x1，y1)，OQ＝(x2，y2)，则OP·OQ＝x1x2＋y1y2；④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.其中所有正确结论的序号是________．解析：对于①，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP|＝，故①正确；对于②，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)，故②正确；对于③，OP＝(x1，y1)，OQ＝(x2，y2)，所以OP·OQ＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)，因为e1·e2≠0，所以OP·OQ≠x1x2＋y1y2，故③错误；对于④，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为OP＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．故填①②④.答案：①②④4．在△ABC中，已知AB＝2，AC2－BC2＝6，则tanC的最大值是________．解析：法一：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－1,0)，B(1,0)．设点C坐标为(x，y)(y＞0)，由AC2－BC2＝6，得(x＋1)2＋y2－＝6，即x＝，所以C.过C作CD⊥AB，垂足为D，所以tan∠ACD＝，tan∠BCD＝，所以tanC＝tan∠ACB＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝≤，当且仅当“y＝，即y＝”时取等号，所以tanC的最大值...