专项限时集训(三)以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(对应学生用书第117页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．图4(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由.【导学号：56394096】[解](1)由题意，PA＝，QA＝，所以l＝PA＋QA，即l＝＋.4分(2)设f(θ)＝＋，θ∈.由f′(θ)＝－＋＝，6分令f′(θ)＝0，得tanθ0＝.8分且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈，f′(θ)＞0，所以，f(θ)在(0，θ0)上单调递减；在上单调递增，所以，当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝时，sinθ0＝，cosθ0＝，所以f(θ)的最小值为3，12分即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3m.因为3＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14分2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.图5(1)求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．[解](1)过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH＝∠EOF＝θ；又OH＝OFsinθ＝sinθ，FH＝OFcosθ＝cosθ，∴S＝4S△OFH＋4S扇形OEF＝2sinθcosθ＋4×θ＝sin2θ＋2θ； ≥，∴sinθ≥，∴θ∈；∴S关于θ的函数关系式为S＝sin2θ＋2θ，θ∈；6分(2)由S矩形＝AD·AB＝2×2sinθ＝4sinθ，则透光区域与矩形窗面积比值为＝＋，设f(θ)＝＋，θ∈，则f′(θ)＝－sinθ＋＝＝＝；10分 ≤θ＜，∴sin2θ≤，∴sin2θ－θ＜0，∴f′(θ)＜0，∴f(θ)在θ∈上是单调减函数；∴当θ＝时f(θ)取得最大值为＋，此时AB＝2sinθ＝1(m)；∴当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求AB的长度为1m．14分3．(本小题满分14分)(扬州市2017届高三上学期期中)如图6，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2.图6(1)求sin∠ABC的大小；(2)设∠ADB＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．[解](1)在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝－，所以sin∠ABC＝.4分(2)在△ABD中，由＝＝得：＝＝.所以AD＝，BD＝＝－.6分设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y＝(5CD＋3BD)×2k＋8×k×AD＝2k[5(70－BD)＋3BD＋4AD]＝20k＝20k.令H(θ)＝，则H′(θ)＝，令H′(θ)＝0，解得：cosθ＝，θ＝.10分当0＜θ＜时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；当＜θ＜时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增，∴θ＝时，H(θ)取最小值，同时y也取得最小值．此时BD＝－＝，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间．所以θ＝时，运输总成本最小.14分4．(本小题满分16分)如图7所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据计算cosθ的值．图7[解]由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，4分由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理...
