专项限时集训(五)复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第121页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和.【导学号：56394103】[解](1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.6分(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.14分2．(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即可解得所以bn＝3n＋1.6分(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.14分3．(本小题满分14分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N*满足－＝，且a1＝1，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝5，其前9项和为63.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝＋，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn≥2n＋a，求实数a的取值范围；(3)将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和Sn.[解](1)∵－＝，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴＝A1＋(n－1)×＝n＋，即An＝(n∈N*)，∴an＋1＝An＋1－An＝－＝n＋1(n∈N*)，又a1＝1，∴an＝n(n∈N*)，∵bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，∴数列{bn}是等差数列，设{bn}的前n项和为Bn，∵B9＝＝63且b3＝5，∴b7＝9，∴{bn}的公差为＝＝1，bn＝n＋2(n∈N*).4分(2)由(1)知cn＝＋＝＋＝2＋2，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2＝2n＋2＝2n＋3－2，∴Tn－2n＝3－2，设Rn＝3－2，则Rn＋1－Rn＝2＝＞0，∴数列{Rn}为递增数列，∴(Rn)min＝R1＝，∵对任意正整数n，都有Tn－2n≥a恒成立，∴a≤.8分(3)数列{an}的前n项和An＝，数列{bn}的前n项和Bn＝.①当n＝2k(k∈N*)时，Sn＝Ak＋Bk＝＋＝k2＋3k；②当n＝4k＋1(k∈N*)时，Sn＝A2k＋1＋B2k＝＋＝4k2＋8k＋1，特别地，当n＝1时，S1＝1也符合上式；③当n＝4k－1(k∈N*)时，Sn＝A2k－1＋B2k＝＋＝4k2＋4k.综上，Sn＝14分4．(本小题满分16分)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝∑(－1)kb，n∈N*，求证：∑＜.[证明](1)由题意得b＝anan＋1，cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列.6分(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d·＝2d2n(n＋1).10分所以∑＝∑＝∑＝·＜.16分5．(本小题满分16分)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.【导学号：56394104】[解](1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.由已知，q>0，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).8分(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝解得q＝.因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，故e1＋e2＋…＋en>.16分
