专项限时集训(七)函数零点、单调性、极值等综合问题(对应学生用书第125页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R.(1)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点分别是x1和x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.【导学号：56394110】[解](1)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0.2分当a≤0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时，由f′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f′(x)＜0得1＜x＜，所以f(x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减．当a＝时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当a＞时，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在区间和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；当0＜a＜时，f(x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减；当a＝时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；当a＞时，f(x)在区间和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减.8分(2)法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝，由题意知x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝.记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且bx1＝2x＋1，bx2＝2x＋1，f(x1)－f(x2)＝(x－x)－(bx1－bx2)＋ln＝－(x－x)＋ln，因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝x－－ln(2x)，x2∈(1，＋∞)．令t＝2x∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－－lnt.因为当t＞2时，φ′(t)＝＞0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2.14分法二：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝，由题意知x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝.记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在(x1，x2)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)＞f－f(1)＝－(1－b)＝－＋－ln2，因为b＞3，所以f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2.14分2．(本小题满分14分)(南通、泰州市2017届高三第一次调研测试)已知函数f(x)＝ax2－x－lnx，a∈R.(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若－1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝时，f(x)＝x2－x－lnx.所以f′(x)＝x－1－＝(x>0)．令f′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．所以当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－－ln2.3分(2)证明：由f(x)＝ax2－x－lnx，得f′(x)＝2ax－1－＝，x＞0.所以当a≤0时，f′(x)＝＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点．因为当－1≤a≤0时，f(1)＝a－1＜0，f＝＞0，所以当－1≤a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上有零点．综上，当－1≤a≤0时，函数f(x)有且只有一个零点.7分(3)法一：由(2)知，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点．因为函数f(x)有两个零点，所以a＞0.由f(x)＝ax2－x－lnx，得f′(x)＝(x＞0)，令g(x)＝2ax2－x－1.因为g(0)＝－1＜0,2a＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，设为x0.当x∈(0，x0)时，g(x)＜0，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0.所以函数f(x)在(0，x0)上单调递减；在(x0，＋∞)上单调递增．要使得函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x0)＜0，即ax－x0－lnx0＜0.又因为g(x0)＝2ax－x0－1＝0，所以2lnx0＋x0－1＞0，又因为函数h(x)＝2lnx＋x－1在(0，＋∞)上是增函数，且h(1)＝0，所以x0＞1，得0＜＜1.又由2ax－x0－1＝0，得2a＝2＋＝2－，所以0＜a＜1.以下验证当0＜a＜1时，函数f(x)有两个零点．当0＜a＜1时，g＝－－1＝＞0，所以1＜x0...
