专项限时集训(八)函数最值、恒成立及存在性问题(对应学生用书第127页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(镇江市2017届高三上学期期末)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；(3)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数λ的取值范围．[解](1)f′(x)＝lnx＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0
所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为：y＝x－1，从而g′(x)＝2λx，g′(1)＝2λ＝1，即λ＝
2分(2)证明：由题意知：设函数h(x)＝xlnx－(x2－1)，则h′(x)＝lnx＋1－x，设p(x)＝lnx＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，所以p(x)＝lnx＋1－x≤p(1)＝0，即h′(x)≤0，因此函数h(x)＝xlnx－(x2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h(x)≤h(1)＝0，所以当x≥1时，f(x)≤g(x)成立
6分(3)设函数H(x)＝xlnx－λ，从而对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0＝H(1)恒成立．又H′(x)＝lnx＋1－2λx，当H′(x)＝lnx＋1－2λx≤0，即≤2λ恒成立时，函数H(x)单调递减．设r(x)＝，则r′(x)＝≤0，所以r(x)max＝r(1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥，符合题意；当λ≤0时，H′(x)＝lnx＋1－2λx≥0恒成立，此时函数H(x)单调递增．于是，不等式H(x)≥H(1)＝0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0＜λ＜时，设q(x)＝H′(x)＝lnx＋1－2λx，则q′(x)＝－2λ＝0⇒x＝＞1，当x∈时，q′(x)＝－2λ＞0，此时q(x)＝H′(x)＝
