第12讲高考中的数列题型一|等差、等比数列的判定与证明(2013·江苏高考)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.[证明](1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.1分又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，2分即2＝a，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.4分因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.6分(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1).8分令A＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，从而有10分由②③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0，即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.14分若d1＝0，则由d1－d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.16分【名师点评】证明(或判断)数列是等差(比)数列的基本方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．(2016·南通三模)已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；(2)若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列；(3)若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.[解](1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8.3分(2)证明：法一：因为an＋1bn＝Sn＋1，所以a1qnbn＝＋1，所以qnbn＝＋－，即bn＝n－，5分所以存在实数λ＝，使得bn＋λ＝n，又因为bn＋λ≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，所以当n≥2，＝，此时{bn＋λ}为等比数列，所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列.10分法二：因为an＋1bn＝Sn＋1，①所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1，②①－②得，当n≥2时，an＋1bn－anbn－1＝an，③由③得，当n≥2时，bn＝bn－1＋＝bn－1＋，5分所以bn＋＝，又因为bn＋≠0(否则{bn}为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝，使{bn＋λ}为等比数列.10分(3)证明：因为{bn}为公差为d的等差数列，所以由③得，当n≥2时，an＋1bn－an(bn－d)＝an，即(an＋1－an)bn＝(1－d)an，因为{an}，{bn}各项均不相等，所以an＋1－an≠0,1－d≠0，所以当n≥2时，＝，④当n≥3时，＝，⑤由④－⑤，得当n≥3时－＝＝，⑥12分先证充分性：即由d＝证明a2，a3，…，an，…成等差数列，因为d＝，由⑥得－＝1，所以当n≥3时，－1＝，又an≠0，所以an＋1－an＝an－an－1，即a2，a3，…，an，…成等差数列．再证必要性：即由a2，a3，…，an，…成等差数列证明d＝，14分因为a2，a3，…，an，…成等差数列，所以当n≥3时，an＋1－an＝an－an－1，所以由⑥得，－＝－＝1＝，所以d＝，所以a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是d＝.16分题型二|数列中的新定义问题(2014·江苏高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．[解](1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”.4分(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.6分因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.7分当d＝－1时，an＝2－...
